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Tesi di Laurea Triennale - Luigi Usai

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Introduzione



I concetti non sono già fatti, non stanno ad aspettarci come fossero corpi celesti. Non c'è un cielo per i concetti; devono essere inventati, fabbricati o piuttosto creati e non sarebbero nulla senza la firma di coloro che li creano1

[...] è necessario ridurre il complesso al semplice [...] Quando ci arrestiamo di fronte a un punto che non riusciamo a comprendere con chiarezza, dovremmo riconsiderare l'intero procedimento. Dovremmo esercitarci nell'arte di cogliere chiaramente le nature semplici o essenze reali esaminando cose semplici o, ancora meglio, banali, e chiedendoci in che cosa consiste la loro semplicità. A questo fine dovremmo andare oltre le soluzioni proposte da altri e concentrarci sull'ordine in cui le cose devono essere collocate perchè emerga la soluzione corretta.2




Ci si ripropone, in questo lavoro, di mostrare alcuni aspetti relativi alla metodologia cartesiana, ponendo l’accento sulla difficoltà di incasellare il reale in una gabbia matematica, cristallizzata ed ilemorfica, costituita da algoritmi e strutture dati, illustrando poi in chiusura una proposta che forse avrebbe attirato l'attenzione del curioso Descartes, in quanto sembra semplificare parecchio lo studio della musica tramite l'applicazione del suo stesso metodo, tema, quello della musica, al quale il filosofo dedicò un libello, il Compendium Musicae, offrendolo al suo amico Beeckman come dono per il nuovo anno, trattato della cui paternità andò fiero per tutta la vita e che fu oggetto di alcune querelle con lo stesso Beeckman.

La consuetudine spesso ci fa credere che le soluzioni ad un problema proposte da terzi siano le più efficienti, quando per lunghissimo tempo nessuno ne contesti la validità. Ma si deve trovare il coraggio di ripensare, "from scratch", dal principio, una soluzione alternativa più efficiente. E' quello che ci si sforzerà di fare prendendo in considerazione il problema della disposizione dei tasti sulla tastiera musicale, ad esempio quella del pianoforte; dividendo questo problema in sottoproblemi, applicando un metodo di tipo riduzionistico sembrerebbe possibile disporre i tasti al fine di favorire un più rapido apprendimento di alcuni aspetti della teoria musicale, come si proverà a dimostrare in seguito, al costo di sacrificare la differenza tra semitoni diatonici e cromatici come presenti nella scala naturale.

Come si vedrà, anche in passato si fece una scelta di tipo riduttivistico, col l’applicazione del sistema detto “a temperamento equabile”. In natura, il diesis ed il bemolle non sono la stessa nota, non vengono cioè a coincidere. Sul pianoforte, però, si fece la scelta di farli coincidere sacrificando la differenza presente nella scala naturale. Questa differenza è possibile renderla ancora oggi con strumenti come gli archi o la voce, che non sono ad intonazione fissa.

Sulla scia degli interessi musicali del filosofo del Poitou e delle sue riflessioni matematiche, ci si accinge qui ad una serie di riflessioni che investiranno anche il ruolo che la matematica ricopre in Descartes dapprima, e nella società contemporanea dipoi.







Semplificazione della realtà tramite sua matematizzazione



I progressi nella ricerca della verità e del sapere in Descartes sono fortemente legati alle sue vicende biografiche3, e non è da sottovalutare il lavoro stigmergico compiuto dai ricercatori, scienziati e filosofi del suo tempo, e la fortissima interazione che connota gli scienziati che hanno contribuito allo sviluppo della rivoluzione scientifica del XVII secolo. Descartes conobbe in Olanda quello che diventerà uno dei suoi migliori amici per oltre un decennio, Beeckman, al quale riconosce il merito di averlo "risvegliato" da una fase di inattività e al quale scrisse: "Dovesse mai qualcosa degno di lode venire fuori dal mio lavoro, Voi avrete il diritto di rivendicarlo pienamente come Vostro"4. E' fondamentale notare che Cartesio era in contatto per via diretta o indiretta con alcuni dei massimi esponenti della cultura del suo tempo: era ad esempio in contatto con Fermat tramite l'amico Mersenne5; con Constantijn e Christiaan Huygens6, il celebre astronomo, fisico e matematico olandese; con Cristina di Svezia ed Elisabetta di Boemia, con Thomas Hobbes, con Pascal e molti altri studiosi del suo tempo; e di quegli scienziati con cui non intrattenne corrispondenza, si interessava per terze vie, come accadde nel caso di Galileo Galilei. Sembra corretto affermare che molta della sua filosofia è sicuramente dovuta agli scambi che poté avere con i grandi uomini del suo tempo. Per tenere vivi i propri interessi e le proprie passioni, Descartes coltivò delle amicizie che gli permisero di migliorare nel suo percorso formativo, alle volte anche pagando lo scotto di forti scontri e diatribe sulla correttezza delle idee sostenute.

La filosofia di Descartes passa attraverso il tentativo di conciliare la discrepanza tra gli eventi e la loro astrazione matematica. I quattro punti del metodo cartesiano, evidenza, analisi, sintesi ed enumerazioni, mostrano come il giovane Descartes si sia accorto che i ragionamenti usati nella matematica sembrino riuscire a far luce, in maniera chiara, evidente e consequenziale, sulle problematiche che ancora restano irrisolte nell'interpretazione del reale. L'analisi scompone il tutto nelle sue componenti più piccole, come se il tutto fosse divisibile senza perdere informazione. Proprio in relazione a questo punto, Descartes è stato più volte tacciato di riduzionismo7.

In una visione olistica, questo non è possibile. L'unità infatti non è composta esclusivamente dalle parti, ma anche da quelle forze di legame che le uniscono e che verrebbero perse una volta smembrata l'unità. Questa visione è stata ripresa in forme e modi diversi dall'ontologia differenziale, in particolare da autori come Gilbert Simondon, Gilles Deleuze, Maurice Merleau-Ponty, che hanno sottolineato la natura preindividuale del campo trascendentale, la sovrasaturazione dello pseudo-individuo, che è oltre l'unità ed è caratterizzato dalla sua extraproposizionalità8.

Nell'ontologia differenziale crolla la vecchia concezione dell'unità d'identità, e si viene a formare una visione dell'universo come senso ed evento, composto da variazioni di intensità di singolarità preindividuali e metastabili, che percepiamo coi nostri sensi fallibili solamente nella dimensionalità spaziotemporale che ci compete. Possiamo percepire la caduta di una foglia o lo spegnersi di una candela, perchè la sommatoria delle variazioni d'intensità è percepibile coi nostri sensi. I quali però non possono percepire l'impercepibile, ossia le infinitesime variazioni d'intensità che vengono a costituire il divenire.

Questa breve panoramica sull'aspetto preindividuale del reale ci deve essere di guida nel momento in cui cominciamo ad esaminare il processo cartesiano di matematizzazione del reale.

Infatti la matematizzazione del reale semplifica la realtà per poterla incasellare in uno schema ilemorfico e cristallizzato, quantificabile cronotopologicamente, ma che è incapace di rappresentarla nella sua interezza, per ciò che essa è davvero, nelle sue manifestazioni preindividuali ed extraproposizionali, indicibili, e non semplificabili con un processo di matematizzazione che, anziché coincidere con l'evento, lo semplifica facendogli perdere proprio quelle dinamiche che sono causa efficiente del divenire e del quale è esclusivamente visione prospettica, punto di vista, opinione.

Sotto questo aspetto, si può notare che questo processo di perdita-decadimento dell’informazione è avvenuto anche nella musica. Nel processo di semplificazione delle relazioni tra semitoni, il temperamento equabile ha ridotto il semitono alla metà esatta del tono, per cui la distinzione che esiste tra il semitono diatonico ed il semitono cromatico ha corso il rischio di andare perduta, almeno negli strumenti ad intonazione fissa come il pianoforte. Questa distinzione tra semitoni cromatici ascendenti e discendenti è ancora possibile renderla negli strumenti non ad intonazione fissa come gli archi o la voce, strumenti coi quali è possibile mostrare le variazioni d'intensità tipiche delle alterazioni ascendenti o discendenti, così come si presentano in natura.

In questo senso, si può affermare che la metafisica viene portata dagli estremi confini dell'universo conosciuto, "oltre la natura", alle impercettibili e tuttora sconosciute micro-variazioni d'intensità dell'infinitamente piccolo, al cuore della materia, ai meccanismi osmotici che sembrano regolare i processi, in divenire, del reale.

Nel processo di matematizzazione ciò che si perde è la natura preindividuale del reale, e le sue forze di legame che si manifestano nell'evento sotto forma di divenire, sotto forma di spinte facenti parte di un processo osmotico, che in base alle leggi della conservazione dell'energia tendono a mantenere inalterata la quantità d'energia totale dell'evento.

Tuttavia la rappresentazione matematica dell'evento è servita all'umanità per fare grandi passi avanti nel cammino intrapreso da Descartes verso un sapere più saldo e certo, per cui in questo lavoro ci si sforzerà di mostrare come sia possibile applicare il procedimento matematico ad un caso specifico ed analizzabile, ossia alla tastiera del pianoforte, e si mostrerà come il metodo applicato, anche se di tipo riduzionistico, permetta una semplificazione del processo di apprendimento della musica da parte dei principianti.

























N-Dimensionalità e processo matematico



Sembra opportuno mostrare come sia realmente difficile creare un'apparato che matematizzi qualcosa che ancora non si conosce del tutto, ossia la cosa in sé, nella sua eventualità, nella sua datità. Per fare questo verrà esaminato un concetto specifico, la dimensionalità.

In particolare è interessante tentare di ricostruire il concetto di dimensionalità spaziotemporale, risalendo alle origini della storia della matematica e della geometria, per vedere come il processo matematico lo rappresenti e se questa rappresentazione lo mostri per ciò che esso realmente è.

Il testo più conosciuto dell'antichità è sicuramente gli Elementi9, di Euclide.

Gli Elementi sono stati uno dei testi più pubblicati nei primi secoli dall'invenzione della stampa, e sono stati considerati un capolavoro del pensiero greco. In essi sono descritti degli apparati matematico-geometrici che, oltre a mostrare la potenza della ragione, consentono una interpretazione filosofica della realtà filtrata dall'astrazione matematica. Con gli Elementi, si rendeva così possibile la misurazione dello spazio eseguita in maniera razionale e precisa. Ovviamente già prima degli Elementi erano presenti nella cultura delle nozioni di natura geometrico-matematica, ma questo testo codificò in maniera chiara e distinta i ragionamenti e le dimostrazioni matematico geometriche che vi sono analizzati.

Lo spazio veniva così ad assumere una natura che oggi è detta "spazio euclideo" e coincide con la geometria piana.

Nei secoli, però, vi furono alcuni matematici geniali che si accorsero che qualcosa negli Elementi non quadrava: il 5° postulato.

"Se in un piano una retta, intersecando altre due rette, forma con esse dalla stessa parte angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste rette, prolungate indefinitamente, finiscono per incontrarsi dalla parte detta."

Proclo considerò questo un teorema, non un postulato10, e provò a dimostrarlo; raccontò inoltre i tentativi di dimostrazione del 5° postulato fatti dal celebre geografo Tolomeo, che aveva scritto un libro in proposito, ora andato perduto.

Tra i tentativi di dimostrazione, di notevole rilievo fu quello di Gerolamo Saccheri. Ma tantissimi geni vi si dedicarono, tra cui il geniale Heinrich Lambert.

Sia Lambert che Saccheri analizzarono le conseguenze di assumere la falsità di alcuni risultati equivalenti al 5° postulato. In seguito, sul problema sollevato dal 5° postulato, si espressero Gauss, Lobacevskij e Bolyai. Questi matematici geniali si resero conto che dal 5° postulato si potevano derivare altri tipi di geometrie, equivalenti a quella euclidea ed altrettanto efficaci. Analizzando la corrispondenza di Gauss si può dedurre che queste idee gli erano già presenti intorno al 1820, e sembrerebbe addirittura che Gauss abbia influenzato ed indirizzato Lobacevskij e Bolyai. Il concetto di dimensionalità cominciava ad entrare in crisi, e nuove possibili geometrie erano all'orizzonte.

Nell’Ottocento vi furono due contributi di rilievo per la concezione della dimensionalità: il lavoro del matematico tedesco Bernhard Riemann, e un testo che divenne particolarmente noto, Flatlandia11, di Edwin Abbott, edito nella prima versione originale nel 1884, quindi nel periodo successivo a quello in cui Riemann aveva pubblicato i sui lavori relativi a nuove forme di geometrie. In Flatlandia si narra di un mondo bidimensionale, popolato da figure geometriche piane. Il testo è anche una fortissima critica alla società vittoriana ed alle sue rigide prescrizioni. Nella seconda parte del libro, un quadrato narra del suo incontro con una sfera che lo istruisce sull’esistenza di un mondo tridimensionale. Il quadrato, verso la fine del libro, ipotizza allora l’esistenza di mondi con dimensioni superiori a tre, ma viene zittito dalla sfera. E’ curioso come questo mostri la difficoltà persino di pensare, di concepire, dimensioni differenti da quelle nella quale abbiamo incasellato la nostra realtà.

Il lavoro di Riemann in relazione al concetto di dimensionalità, è stato sicuramente la fondazione della geometria ellittica, detta anche geometria riemanniana, nel quale un triangolo ha somma degli angoli interni maggiore di 180, cosa non possibile nella geometria piana euclidea. Il testo di Abbott ed il lavoro di Riemann sono stati alla base, tra gli altri, della creazione di linguaggi di programmazione per grafica tridimensionale quali il VRML, il Virtual Reality Modeling Language, usato dai programmatori web per la realizzazione di pagine web nelle quali vengono simulati mondi virtuali sulla superficie bidimensionale del monitor.

Il problema della dimensionalità dell'essere si ripropose in modo sempre più imponente con l'avanzare degli anni. Sempre più ci si interrogava sul modo in cui la dimensionalità fosse da interpretare. La materia, la realtà, mostrava di poter esser interpretata anche con un numero di dimensioni maggiore di 3.

Una delle persone che se ne accorsero fu il professore di matematica di Albert Einstein, Hermann Minkowski, che insegnava ai suoi studenti lo spazio-tempo come unica struttura a quattro dimensioni, e che in seguito prese il suo nome, spaziotempo Minkowskiano. Un cubo presenta altezza, larghezza e profondità. Ma se il cubo si muove, allora entra in gioco una quarta dimensione che è il tempo.

Ora la dimensionalità veniva ad assumere la caratteristica di avere 4 coordinate, 4 parametri che la potevano descrivere e definire, apparentemente nella sua interezza, per ciò che essa è in sé. Ma il concetto di dimensione era destinato ad entrare nuovamente in crisi in seguito all'avvento della meccanica quantistica. Si affacciarono all'orizzonte delle teorie che ipotizzavano dimensioni superiori a quattro. Anche alcuni pittori se ne occuparono, anche se da un punto di vista puramente estetico e filosofico, ad esempio Salvador Dalì con il suo dipinto risalente al 1954 intitolato Crucifixion (Corpus Hypercubus)12.

La dimensione diventa un problema nuovamente attuale nel pensiero moderno e contemporaneo con l'avvento della teoria delle Stringhe. Cosa è la dimensione? L'essere è immerso in cosa? Quante dimensioni ha? Come deve essere rappresentato? Come può la dimensionalità essere parametrizzata matematicamente? Teorie come quelle delle Stringhe e delle SuperStringhe hanno fatto ulteriori passi avanti nella ricerca, ma hanno portato le informazioni ad un livello di tecnicismo che può essere padroneggiato solo da individui che investono tutta la loro vita solo in questo tipo di studi.

Nella teoria delle Stringhe, le stringhe bosoniche vivono in 26 dimensioni13. All'uomo comune sembra essere precluso l'accesso a queste informazioni proprio a causa della loro complessità, e poche persone possono discuterne con competenza e padronanza.

Il concetto di dimensionalità ora si è così complicato che sono necessari anni di studi, per tentare anche solo di capire di cosa si tratti. Una delle ultime teorie che ha modificato il concetto di dimensionalità è sicuramente la M-Teoria, o Teoria della Membrana, secondo la quale l'essere è prodotto da collisione di membrane; questa teoria è una superteoria che riuscirebbe a spiegare ed includere come suoi sottoinsiemi o casi particolari varie varianti delle teorie delle Stringhe.

Tutt'ora non sappiamo per certo cosa sia la dimensionalità. Eppure tutti i giorni viviamo immersi nella dimensionalità, vi ci muoviamo attraverso, ci pensiamo, la pensiamo, eppure non sappiamo nemmeno cosa essa sia. Questo excursus ci deve esser presente nel momento in cui pensiamo al processo di matematizzazione del reale tentato da Descartes.

Come si può parametrizzare qualcosa che non si conosce, come la dimensionalità? Qualsiasi evento accade nello spazio tempo, reale, virtuale o sognato che sia. Addirittura nel sonno, quando sognamo qualcosa, lo sognamo dando per scontato che esso abbia una dimensionalità, anche se in questo specifico caso essa sfugge alle leggi della fisica e del buon senso, talvolta comportandosi in maniera addirittura paradossale.

Il processo di matematizzazione presuppone la scelta di alcuni caratteri, alcuni parametri, che possano essere quantificati. Ma questo non significa che la loro parametrizzazione coincida con l'evento del quale sono la rappresentazione, anzi, in questo processo si ha una perdita di informazione della realtà effettiva, che coincide con l'evento. L'evento, nel momento in cui venga parametrizzato e quantizzato, perde alcune delle sue caratteristiche, tra le quali anche quelle che ne causano il divenire, il suo non permanere in uno stato di quiete cristallizzato. Ancora oggi abbiamo la certezza nemmeno del numero di dimensioni nelle quali siamo immersi. Ecco spiegato il motivo della parola N-Dimensionale: viviamo immersi in una realtà ad N dimensioni, e lo stato di insicurezza, di dubbio, di sconcerto che ne deriva ci deve fare da guida nel cammino di ricerca verso un sapere più saldo e sicuro.















































Possibilità d’impossibilità dell’uguale



Una volta focalizzata la difficoltà del processo matematico di imbrigliare la realtà per ciò che essa è, è possibile fare un ulteriore passo avanti nel tentativo di verificare quali siano gli strumenti che la matematica ci offre per la comprensione del reale, e come Descartes se ne serva per l’accrescimento di un sapere fondato e certo.

Si è visto come ancora oggi vi siano dei dubbi su cosa sia realmente la dimensionalità nella quale viviamo immersi. E’ però possibile fare delle altre constatazioni che sembrano essere rilevanti nel processo di comprensione del metodo cartesiano.

In Che cos’è la filosofia, Deleuze e Guattari sostengono che la filosofia è creazione e manipolazione di concetti. E’ curioso notare che la matematica sembra aver creato un concetto che non esiste nella realtà: il concetto di uguaglianza. Il processo di astrazione sacrifica informazione che non ritiene decisiva al fine di determinare un modello rappresentativo del reale quantizzabile. Questo sacrificio ha innestato nella cultura, sicuramente in quella occidentale, nel pensiero comune, nel “common sense”, la convinzione che esista l’uguale, che sia possibile che più fenomeni siano uguali.

Il concetto di uguale, però, ad un’attenta analisi, sembra essere solo potenziale, ma non attuale. Un po’ come il concetto di infinito. Se si considera la realtà fenomenica da un punto di vista insiemistico, e si scelgono degli elementi di essa considerabili come suoi sottoinsiemi, la possibilità di incontrare qualcosa di uguale sembra ridursi a zero. E’ curioso, perché i testi di filosofia, di matematica, e tutta la cultura mondiale accetta e concorda senza dubitare, e senza porlo in crisi, il concetto di uguaglianza. Anche la religione, fa uso di questo concetto per alcune spiegazioni teologiche.

Nell’ambito fenomenico sembra essere impossibile trovare due fenomeni che siano uguali. Essi divergeranno sempre per forma, posizione, aspetto, posizione dell’angolazione degli spin della materia che li compone… partendo da questo concetto è possibile cominciare un lavoro di rilettura delle opere della cultura classica, di qualsiasi opera in generale, tenendo ben presente questo nuovo modo di interpretare il concetto di uguale. Esso sembra essere una pura astrazione matematica riduzionistica che permette la semplificazione, alla mente umana, della comprensione di concetti diversamente difficili da spiegare e interpretare.

Passiamo ad analizzare un altro concetto, quello di punto geometrico. La definizione di punto che di solito viene insegnata alle scuole elementari è: “Il punto è l’ente geometrico fondamentale che non ha dimensione”. Ora, non avendo dimensione, la misura esatta della dimensione di un punto è 0, qualsiasi sia l’unità di misura di partenza. Un punto misura 0 cm, 0 dm, 0 mm, 0 km.

Qualsiasi superficie euclidea è composta da una serie infinita di punti. Una serie infinita di punti che misurano 0, da 0 come misura finale. Conseguentemente l’estensione dell’area di qualunque figura geometrica è data dalla sommatoria degli infiniti punti, di dimensione 0, che la costituiscono. L’area di qualunque figura piana euclidea di questo tipo è dunque 0, per ogni valore assegnato all’unità di misura in partenza. Questo contrasta con la nostra esperienza e con il buonsenso. Questa riflessione ricorda molto da presso i paradossi di Zenone di Elea, che aveva preso in considerazione e portato all'estremo, alcune riflessioni sulla natura paradossale della matematica usata per l'interpretazione del reale.

Perché queste considerazioni? Il motivo che spinge a fare queste considerazioni è il tentare di verificare quanto i concetti matematico geometrici siano “evidenti e chiari”, come vuole il primo punto del metodo cartesiano analizzato nel discorso sul metodo. Oggi si attribuisce alla matematica la capacità di incasellare il reale, ma in realtà vi è ancora spazio per applicare il dubbio metodico alle conoscenze che abbiamo, per tentare di migliorare la nostra comprensione della realtà nel tentativo di inseguire un sapere certo e saldo.

Scopo di queste riflessioni è mantenere la mente allenata, al riflettere sulle proposizioni, sui metodi utilizzati, per abituarsi a non dare mai nulla per scontato, anche se il sapere acquisito è consolidato da moltissimo tempo, anche se nessuno penserebbe mai di dubitare di concetti che sembrano a tutti chiari ed ovvi.

Le geometrie dello spazio curvo, come quella ellittica di Riemann, sono nate proprio da un atto di coraggio di persone che hanno saputo analizzare, verificare e mettere in crisi concetti ormai ritenuti ovvi ed accettati da tutti. Chi si sarebbe sognato di affermare che gli Elementi di Euclide contenevano delle affermazioni che forse non erano del tutto corrette?

Allo stesso tempo, questa è una sorta di polemica a tanta filosofia del passato che ha accettato il detto perché “ipse dixit”, e non ha avuto sempre il coraggio di affrontare i problemi dal principio. In talune università, addirittura, venivano imposte delle multe a coloro che affermavano qualcosa che contraddiceva la teoria aristotelica, o platonica, a seconda di quale modello filosofico era ritenuto dominante in quella università.

Ecco riecheggiare la frase di Kant: “Sapere aude!”. Anche a costo di dover mettere in crisi il sapere considerato da tutti come patrimonio certo. Ed ecco perché emerge la necessità di applicare il metodo cartesiano al patrimonio di conoscenze, anche se già acquisite.











































Un Cartesio poco conosciuto



William R. Shea, nel suo libro La magia dei numeri e del moto. René Descartes e la scienza del Seicento, ci offre un'immagine di Cartesio poco conosciuta. Il Cartesio che mette davanti non viene dipinto come solitamente avviene nei manuali, ma ci viene mostrato nel suo percorso, dalla nascita in poi, ponendo l'accento sul lato umano.

Vengono presi in analisi da Shea anche gli atteggiamenti di presunzione, di baldanza, di indelicatezza e di meschinità che il filosofo ha avuto nei confronti di alcuni suoi contemporanei e che si possono ricavare dalle lettere che ci rimangono del suo epistolario.

Lungi dall'essere gossip, le sottolineature dello Shea ci mostrano alcuni degli aspetti umani che hanno portato Descartes a compiere il cammino che ha percorso, ci danno una visione di un Descartes poco noto, avvicinandolo al lettore e illuminandolo di una luce che da un colore nuovo alla sua opera. Anche questi aspetti, spesso trascurati o sottovalutati da altri autori che pongono l’accento soprattutto o esclusivamente sul lavoro e le opere del filosofo, costituiscono delle informazioni che diversamente andrebbero perse e che presentano anch’esse un carattere di verità che è utile per la comprensione del percorso del filosofo.













Una proposta cartesiana



Dopo meno di 6 settimane dal suo primo incontro con Beeckman, Cartesio gli fa dono per l'anno nuovo di un libello, il Compendium Musicae, nel quale tenta di porre delle basi rigorose allo studio ed alla comprensione della musica riducendola a fatti chiari ed evidenti.

E' già in questa opera presente a Cartesio il primo dei quattro punti del metodo, l'evidenza. La musica era una delle materie del quadrivio assieme alla geometria, l'aritmetica e l'astronomia. Cartesio, pur non essendo particolarmente dotato nella musica14, in merito al fatto che la nota si era stato introdotta nella scala musicale senza un preciso motivo matematico, ne propose l'abolizione15, anche se la definitiva stabilizzazione del sistema equabile ha fatto prendere una strada ben diversa agli studiosi d'armonia, fino alla codificazione del ruolo della sensibile (il VII grado della scala) nel Trattato di armonia di J. Ph. Rameau (1722). In questo nostro lavoro formuleremo una proposta che forse si avvicina a quella di Descartes per l'abolizione del si, e che ha come obbiettivo la razionalizzazione e la semplificazione dello studio della musica.

Si è notato che è possibile semplificare lo studio degli accordi musicali ai principianti modificando leggermente il posizionamento di alcune alterazioni della scala musicale.

Le relazioni tra le 12 note che compongono la scala cromatica permettono di realizzare una tastiera (illustrazione 1) con la quale sia possibile imparare il valore posizionale dell'accordo, che sarà sempre valido per tutta la lunghezza della tastiera.

Ad esempio, l'accordo di do maggiore è formato dalle note do-mi-sol. Come si potrà constatare, se eseguiamo in questa tastiera l'accordo di re maggiore re-fa#-la, la posizione della mano nell’esecuzione risulta identica a quella usata per l’esecuzione dell'accordo di do maggiore.

Proseguiamo con la verifica dell'accordo di mi maggiore: questo è composto dalle note mi-sol#-si; si può notare che la posizione della mano per l'esecuzione dell'accordo è identica all'esecuzione del do maggiore e del re maggiore. Questo valore posizionale si ripete per tutte le note della tastiera, come si può constatare verificando tutti gli accordi maggiori.

Eseguendo gli accordi a partire da una delle alterazioni, avremo pertanto una seconda posizione fissa. Prendendo ad esempio l'accordo di do#-fa-sol#: il valore posizionale della mano per questo accordo maggiore è uguale per tutti gli accordi maggiori della tastiera eseguiti a partire da un'alterazione, ossia da uno dei tasti neri della tastiera.

Ma la comodità di questa tastiera non si limita all'uniformità della posizione della mano nell'esecuzione degli accordi maggiori. Infatti, tutti gli accordi, anche quelli di modo minore, settimo, diminuito, quarto, sesto, aumentato, risultano seguire perfettamente il medesimo schema.

Possiamo pertanto affermare che questo modello di tastiera permette di imparare con due soli accordi maggiori, tutti gli accordi maggiori, con 2 soli accordi minori, tutti gli accordi minori, con 2 soli accordi settimi, tutti gli accordi settimi e così via per tutti gli altri tipi di accordi.

Lo studente di musica pertanto potrà immediatamente prendere una canzone popolare ed eseguirla con pochissima fatica, senza dover necessariamente compiere anni di studio in ambito musicale.

Questa idea è derivata dalla proposta di Cartesio per l'abolizione della nota si. In passato, quando presi lezioni di pianoforte, mi chiesi per quale motivo avessero omesso di inserire le alterazioni all'altezza del mi e del si (illustrazione 2), e le uniche spiegazioni che mi furono fornite furono la consolidazione storica dovuta all'uso ed la tradizione.

Forse i miei insegnanti non ritenevano necessario insegnarmi il motivo per cui si arrivò a realizzare la tastiera del pianoforte, che è uno strumento ad intonazione fissa, in quella particolare maniera e non altrimenti.

Con la tastiera di cui all'illustrazione 1 è possibile vedere in maniera chiara ed evidente, come avrebbe voluto il giovane del Poitou, i rapporti matematici cristallini che sono presenti nell'esecuzione musicale di un brano eseguito per accordi, semplificandone la memorizzazione, la comprensione e l'apprendimento. Questo esperimento teorico, lungi dal voler sembrare un atto di presunzione, vuole essere solo un tentativo di applicare le regole del metodo cartesiano alla musica, ed in particolare allo studio della tastiera elettronica.

 





L'esecuzione per pianoforte, verrebbe semplificata da questo nuovo tipo di tastiera in virtù del fatto che essa è più corta di quella classica, di conseguenza la larghezza del pianoforte sarà inferiore. Va però evidenziato che tale strumento, al momento attuale, sembra non esser ancora stato realizzato, per cui la sua effettiva utilità e la sua potenziale semplicità di apprendimento, potranno essere dimostrate solo con la sua realizzazione, con il suo uso e con l’esperienza.

Un ulteriore vantaggio che questa tastiera apporterebbe nello studio della musica consiste nella incredibile semplicità di trasposizione da una tonalità ad un'altra. Infatti basta saper eseguire in qualsiasi chiave per poter eseguire la stessa melodia trasposta dei toni che si desidera; ad esempio, chi sapesse suonare una melodia in tonalità di do, avanzando di due toni potrebbe eseguire lo stesso identico brano allo stesso identico modo in chiave di mi. Questo ora non accade, in quanto il posizionamento non razionale dei tasti della tastiera complica incredibilmente il lavoro di trasposizione da un accordo ad un altro. Il lavoro di apprendimento da una trasposizione ad un'altra è un impegno lungo e difficile che impegna i musicisti per tanto tempo.

 





Detto ciò, è necessario segnalare che questa proposta è lontana della realtà naturale del suono. Nella scala naturale, infatti, esiste una differenza tra semitoni cromatici e semitoni diatonici. I primi sono considerati “accidenti”; i secondi, invece, fanno parte della scala naturale, sono “sostanza” della scala, non sono accidenti.

Ad esempio, si prenda il giro di accordi seguente:

do, la-, re-, sol7, do

trasposto nella tonalità di mi diventa:

mi, do#-, fa#-, si7, mi



Le difficoltà tecniche per l'apprendimento di queste informazioni non sono insignificanti; è necessario un allenamento lungo e costante per la memorizzazione di queste trasposizioni. Con il modello di tastiera proposto, se una persona sa eseguire un brano in do, potrà immediatamente trasporlo senza necessità di avere nessuna informazione sulle tecniche di trasposizione. Naturalmente, bisogna tener presente ad ogni modo che questa è una proposta di tipo riduzionistico: si sacrifica la differenza tra semitoni cromatici e diatonici, per permettere un’accelerazione nella fase di apprendimento della teoria musicale. Questo, però, non impedisce di insegnare in seguito questa differenza, e permettere allo studente di compiere degli ulteriori passi avanti nello studio della musica.

Va segnalato inoltre che le tonalità di do e mi sono diverse non solo per altezza dei suoni, ma anche per le relazioni interne alle tonalità e agli intervalli, ragioni per le quali Leibniz criticava la sua guida matematica parigina, Huygens16.

L’affermazione relativa alla trasposizione vale solo per gli incrementi di tono, ossia di 2 tasti. In caso di trasposizione di semitono, è necessario imparare un secondo valore posizionale dell'esecuzione, a partire da un'alterazione, ad esempio dal do#.

Questa disposizione della tastiera, in ultimo, aiuta moltissimo nell’apprendimento delle relazioni che esistono all’interno dei modi, ad esempio i modi ionico o maggiore, dorico, frigio, lidio, misolidio, eolio o minore, locrio o ipofrigio.







Conclusione



Il percorso che è stato fatto, attraverso alcuni aspetti della storia della matematica e dei suoi protagonisti, per arrivare alla metodologia cartesiana, ci permette alcune riflessioni a nostro avviso importanti.

La prima riguarda il senso di meraviglia e di stupore, col quale i grandi innovatori delle discipline matematiche hanno saputo guardare le informazioni che erano sotto gli occhi di tutti. E' questo senso di meraviglia che fa nascere in loro una passione che non decresce, e che permette di leggere in molte chiavi differenti il magnifico spartito della vita e della natura, trovando nuovi significati disegnati su prospettive talvolta diverse, trovando il coraggio di proporre e di condividere con gli altri le proprie idee. Fino ad arrivare al metodo di Cartesio, che ha scelto proprio il sistema matematico e geometrico come metodologia di base per l'ermeneutica del reale. In Descartes vi è lo stupore iniziale, seguito dalla giusta soddisfazione del vedere che la ragione e l'intelletto possono far progredire la quantità e qualità del sapere, tramite l'applicazione di un metodo rigoroso e, a suo avviso, certo ed evidente.

In secondo luogo, si vuole sottolineare il tema della stigmergia, del lavoro d'ensemble, dove i risultati conseguiti sono il frutto di un collettivo e non di un singolo individuo. Stiamo sulle spalle di giganti, e i risultati che i singoli solisti dell'orchestra filosofica ottengono, vanno visti in uno sfondo nel quale il collettivo svolge un ruolo determinante. La fiamma della passione per il sapere e per la filosofia talvolta rischia di spegnersi, per questo è necessario circondarsi, come ha fatto il filosofo del Poitou, di altri musici della filosofia che con il loro operare non ci facciano dimenticare il motivo per il quale abbiamo intrapreso questo cammino.

Il terzo punto che si vuole porre in rilievo è il dubbio metodico. Nel metodo cartesiano, il dubbio è ciò che ci porta alla scoperta dell'Io. E' il dubbio che permette di formulare nuove prospettive, nuovi punti di vista che non sono e non devono essere chiacchiera ma creazione di soluzioni innovative, creazione di nuovi sentieri all’interno della foresta delle problematiche. E' il dubbio che porta a mettere in crisi concetti già dati, e a costringerci a non accettare le soluzioni date senza averle seriamente ponderate.

Concludendo, possiamo affermare che il metodo cartesiano ci deve ricordare che stiamo attraversando un sentiero, dove il punto d'arrivo è sempre lontano, e dove le singole tappe devono servire come ristoro, prima di una nuova partenza verso quella meta del sapere universale, che non arriverà mai. Da questa consapevolezza, deriverà anche quell'affiatamento collettivo di chi sa di essere un viandante, assieme agli altri, nel cammino della vita.





Indice generale

Introduzione 5

Semplificazione della realtà tramite sua matematizzazione 7

N-Dimensionalità e processo matematico 11

Possibilità d’impossibilità dell’uguale 17

Un Cartesio poco conosciuto 21

Una proposta cartesiana 23

Conclusione 29

Bibliografia 33







Bibliografia





Bibliografia primaria:



R. Descartes, Œuvres, a cura di C. Adam e P. Tannery, 11 voll., Léopold Cerf, Paris, 1897-1913



R. Descartes, Tutte le lettere 1619-1650, a cura di G. Belgioioso; con la collaborazione di I. Agostini ... [et al.], Bompiani, Milano, 2009





Bibliografia secondaria:



E. A. Abbott, Flatlandia, Bollati Boringhieri, Torino, 2008



G. Deleuze e F. Guattari, Che cos'è la filosofia?, Einaudi, Torino, 1996



M. Emmer, Matematica e cultura 2001, Springer-Verlag Italia, Milano, 2001



G. Erle, Leibniz, Lully e la Teodicea: forme etiche dell’armonia musicale, Il Poligrafo, Padova, 2005



Euclide, Gli Elementi, a cura di A. Frajese e L. Maccioni, Utet, Torino, 1996



G. Gambazzi, La forma come sintomo e l’idea come costellazione problematica. Sul preindividuale e il trascendentale nella critica dell’ilemorfismo: Merleau-Ponty, Simondon, Deleuze (ma anche Plotino, Bruno e Ruyer), Chiasmi International, nuova serie 7, Milano, 2005



M. Mori, Storia della filosofia moderna, Laterza, Bari, 2005



D. O' Shea, La congettura di Poincaré, Rizzoli, Milano, 2007



W. R. Shea, La magia dei numeri e del moto, Bollati Boringhieri, Torino, 1994



Skytte, G., Ascani K., Kermit H. (a cura di): Niccolò Stenone (1638-1686) : anatomista, geologo, vescovo : atti del seminario organizzato da Universitetsbiblioteket i Tromsø e l'Accademia di Danimarca lunedi 23 ottobre 2000, Analecta Romana Instituti Danici; "L'ERMA" di Bretschneider, Roma 2002



B. Zwiebach, A First Course in String Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2004

1G. Deleuze e F. Guattari, Che cos'è la filosofia?, Einaudi, Torino, 1996, p. XIII.

2W. R. Shea, La magia dei numeri e del moto, Bollati Boringhieri, Torino, 1994, p. 139.

3M. Mori, Storia della filosofia moderna, Laterza, Bari, 2005, p. 62.

4Lettera di Descartes a Beeckman, 23 aprile 1619, in René Descartes, Œuvres, a cura di C. Adam e P. Tannery, 11 voll., Léopold Cerf, Paris, 1897-1913, X, pp. 162-63, in seguito citato con la sigla A.T., seguita dal volume in cifre romane e dal numero di pagina.

5Lettera di Descarte a Mersenne del 29 giugno 1638, in René Descartes, Tutte le lettere 1619-1650, a cura di G. Belgioioso; con la collaborazione di I. Agostini ... [et al.], Bompiani, Milano, 2009.

6Tra le altre, lettera di Descartes a Huygens, Santpoort, 17 dicembre 1639, in René Descartes, Tutte le lettere 1619-1650, cit..

7Jens Morten Hansen, Il giudizio di Stenone sulla metodologia cartesiana, in Skytte, G., Ascani K., Kermit H. (a cura di): Niccolò Stenone (1638-1686) : anatomista, geologo, vescovo : atti del seminario organizzato da Universitetsbiblioteket i Tromsø e l'Accademia di Danimarca lunedi 23 ottobre 2000, Analecta Romana Instituti Danici; "L'ERMA" di Bretschneider, Roma 2002, pag. 49.

8A tal fine, si veda G. Gambazzi, La forma come sintomo e l’idea come costellazione problematica. Sul preindividuale e il trascendentale nella critica dell’ilemorfismo: Merleau-Ponty, Simondon, Deleuze (ma anche Plotino, Bruno e Ruyer), Chiasmi International, nuova serie 7, Milano, 2005, p. 93.

9Euclide, Gli Elementi, a cura di A. Frajese e L. Maccioni, Utet, Torino, 1996.

10Si veda a tal proposito D. O' Shea, La congettura di Poincaré, Rizzoli, Milano, 2007, pag. 85.

11E. A. Abbott, Flatlandia, Bollati Boringhieri, Torino, 2008.

12S. Dalì, Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954; vedasi in proposito M. Emmer, Matematica e cultura 2001, Springer-Verlag Italia, Milano, 2001.

13B. Zwiebach, A First Course in String Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2004, p. 7.

14William R. Shea, La magia dei numeri e del moto, cit., p. 85.

15Ibid., p. 90.

16 Si veda a tal proposito G. Erle, Leibniz, Lully e la Teodicea: forme etiche dell’armonia musicale, Il Poligrafo, Padova, 2005.

 

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